Math: Иррациональные числа в дополнении
Mar. 10th, 2007 09:21 pm![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
akor168Я вот как-то совсем недавно стал сильно удивляться множеству рациональных чисел и тем парадоксальным отношениям, которые известны между лебеговой мерой и топологической категорией.
Множество рациональных счетно, и значит имеет меру ноль. Тут, кстати, полезно отметить, что для определения меры ноль полная теория меры со всеми сигма-алгебрами и прочей абстрактной мутью не нужна. Мера ноль попросту означает, что есть открытое множество сколь угодно малой меры, содержащее данное как подмножество. Открытое множество на прямой состоит из не более счетного числа непересекающихся открытых интервалов вида (a,b).
В случае же счетного множества конструкция этой системы интервалов общей, сколь угодной малой меры, очень наглядна. Мы нумеруем наше множество натуральным числами 1,2,3,...,n,... и окружаем элемент x_n интервалом (x_n-a/2^n,x_n+a/2^n). Сумммарная длина этих интервалов не больше 2a и может быть сделана сколь угодно малой. Заметим, что в этой конструкции никакой дополнительной специфики о счетном множестве не требуется.
Однако, множество рациональных еще и всюду плотно на действительной прямой. Более того, как на множестве рациональных, так и действительных чисел есть естественный порядок, хорошо согласованный с естественной же топологией.
И вот тут как раз начинается интересное. Построенная выше система интеревалов сколь угодно малой меры есть открытое множесвто, а дополнение замкнутое и состоит из иррациональных чисел. Более того, этих чисел при малом а будет "большинство". С другой же стороны, для любого иррационального числа из дополнения в любой окрестности будут рациональные интервалы нашей системы.
Поставим теперь обратную задачу: выберем некоторое множество иррациональных чисел S, фиксируем его, фиксируем малое a. Теперь мы хотим предъявить покрытие рациональых чисел интервалами, однако так, чтобы все иррациональные числа из нашего фиксированного множества S остались бы в дополнении. Начнем просто с одного иррационального, скажем Sqrt[2]. И попытаемся предъявить конструкцию. Ясно, что нам надо так занумеровать рациональные числа, чтобы расстояние от рациональных Q до Sqrt[2] было больше, чем соответствующая длина интервала. Ясно, что сделать это можно, однако нумерация Q требуется вполне конкретная. Как будто бы нет проблем, если мы хотим оставить в дополнение конечное и даже счетное число иррациональных. При этом нумерация рациональных будет все сложнее и сложнее и каждый раз она должна быть разной.
Однако что делать, если мы хотим "обойти" несчетное множество иррациональных. Ведь дополнение имеет ненулевую меру, а значит там полно несчетных множеств.
Однако, насколько это несчетное множество может быть произвольным?
Update:
Можно повыпендриваться с определениями.
Пусть дано множество A нулевой лебеговой меры. Множество S из дополнения R\A назовем (A,a)- отделимым, если существует открытое множество U(a,S) меры не более a и такое что A\subset U и S\subset R\U.
Описать все (A,a) отделимые множества.
Как сразу отметил rus4, ответ тривиальный - в замыкании S не должно быть точек из A. И вопрос как раз о рассмотрении таких множеств, их свойств и структуры
http://www.livejournal.com/users/akor168/tag/math
Множество рациональных счетно, и значит имеет меру ноль. Тут, кстати, полезно отметить, что для определения меры ноль полная теория меры со всеми сигма-алгебрами и прочей абстрактной мутью не нужна. Мера ноль попросту означает, что есть открытое множество сколь угодно малой меры, содержащее данное как подмножество. Открытое множество на прямой состоит из не более счетного числа непересекающихся открытых интервалов вида (a,b).
В случае же счетного множества конструкция этой системы интервалов общей, сколь угодной малой меры, очень наглядна. Мы нумеруем наше множество натуральным числами 1,2,3,...,n,... и окружаем элемент x_n интервалом (x_n-a/2^n,x_n+a/2^n). Сумммарная длина этих интервалов не больше 2a и может быть сделана сколь угодно малой. Заметим, что в этой конструкции никакой дополнительной специфики о счетном множестве не требуется.
Однако, множество рациональных еще и всюду плотно на действительной прямой. Более того, как на множестве рациональных, так и действительных чисел есть естественный порядок, хорошо согласованный с естественной же топологией.
И вот тут как раз начинается интересное. Построенная выше система интеревалов сколь угодно малой меры есть открытое множесвто, а дополнение замкнутое и состоит из иррациональных чисел. Более того, этих чисел при малом а будет "большинство". С другой же стороны, для любого иррационального числа из дополнения в любой окрестности будут рациональные интервалы нашей системы.
Поставим теперь обратную задачу: выберем некоторое множество иррациональных чисел S, фиксируем его, фиксируем малое a. Теперь мы хотим предъявить покрытие рациональых чисел интервалами, однако так, чтобы все иррациональные числа из нашего фиксированного множества S остались бы в дополнении. Начнем просто с одного иррационального, скажем Sqrt[2]. И попытаемся предъявить конструкцию. Ясно, что нам надо так занумеровать рациональные числа, чтобы расстояние от рациональных Q до Sqrt[2] было больше, чем соответствующая длина интервала. Ясно, что сделать это можно, однако нумерация Q требуется вполне конкретная. Как будто бы нет проблем, если мы хотим оставить в дополнение конечное и даже счетное число иррациональных. При этом нумерация рациональных будет все сложнее и сложнее и каждый раз она должна быть разной.
Однако что делать, если мы хотим "обойти" несчетное множество иррациональных. Ведь дополнение имеет ненулевую меру, а значит там полно несчетных множеств.
Однако, насколько это несчетное множество может быть произвольным?
Update:
Можно повыпендриваться с определениями.
Пусть дано множество A нулевой лебеговой меры. Множество S из дополнения R\A назовем (A,a)- отделимым, если существует открытое множество U(a,S) меры не более a и такое что A\subset U и S\subset R\U.
Описать все (A,a) отделимые множества.
Как сразу отметил rus4, ответ тривиальный - в замыкании S не должно быть точек из A. И вопрос как раз о рассмотрении таких множеств, их свойств и структуры
http://www.livejournal.com/users/akor168/tag/math
![[identity profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/openid.png){kind=small}
no subject
Date: 2007-03-11 06:13 am (UTC)no subject
Date: 2007-03-11 07:08 am (UTC)Дело, по-видимому в том, что вот эти обьекты: замкнутые множества иррациональных, гораздо интереснее, чем это видится на первый взгляд.
no subject
Date: 2007-03-13 09:07 am (UTC)Трудности эти преходящи, а их истоки безусловно связаны с человеческим выяснением "размера" конечного множества. Многие люди обычно не догадываются, что "посчитать" нечто в обыденном смысле это значит фактически "перебрать" не столько элементы самого "нечтА", сколько множество всех значений простейшей фунции/соответсвия, заданной на этом "нечтЕ" со значениями в другом множестве, а именно вo множестве натуральных чисел. Кстати, приходилось иногда обьяснять буквально на примере "стульев и студентов им соответсвующих в аудитории". И когда, после этого, студент наконец понимал, что четных (например) натуральных чисел не в ДВА раза меньше, чем всех натуральных чисел (как кажется интуитивно) а ровно столько же, то это понимание становилось главным шагом к осознанию остальных (во всяком случае очень многих) "парадоксов" бесконечных множеств. Помню что даже такая банальность как растягивание обычной резинки мне здорово помогало при обьяснениии равенства мощностей разных по длине отрезков континиума.