![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
Вчера перед сном читал Гелбаума-Олмстеда "Контрпримеры в анализе". Что запомнилось: возьмем кривые Пеано, которые отображают отезок на квадрат(n-мерный куб), и рассмотрим ее координатные функции - непрерывные, и с прелюбопытнейшим свойствами. Например, всякое значение они принимают несчетное число раз. А теперь возьмем их композицию с сингулярной функцией Кантора - совсем ужас получается, бисово отродье. А ведь все непрерывно донельзя!
Потом примеры с разрывными функциями двух переменных... Тут у меня мысля насчет того, что вот рассмотрим пространство X и его квадрат X^2, и будем смотреть функции, из покоординатной непрерывности которых следует непрерывность в совокупности, то есть из x--->F(x,y) и y-->F(x,y) непрерывны, следует (x,y)--->F(x,y) непрерывна.
Для X=R со стандартной топологией есть куча контрпримеров, и я о них скажу пару слов. Но вот вопрос: можно ли выбрать топологию на X, так чтобы свойство совокупной непрерывности следовало из покоординатной. Ясно, что в дискретной топологии все будет чики-пуки, но дискретные топологии - это моветон. Хочется чего-то благообразного.
Ну это все мечты, а насчет известных примеров в случае евклидовой плоскости:
F(x,y)= q(x)y/(q(x)^2+y^2), где Lim q(x)= 0 когда х--->0
Теперь на кривой y=q(x), F(x,q(x))=1/2. А вот если p(х) стремится к нулю медленнее, чем q(х), а именно:
Lim q(x)/p(x) = Lim r(x)--->0, то тогда мы имеем вдоль кривой y=p(х)
F(x,p)= pq/(p^2+q^2)=r/(1+r^2) ---->0 при х --->0!
Теперь выберем нашу любимую функцию q(x)=exp(-1/x^2), доопределим F(0,0)=0 и имеем интереснейшую картину: вдоль любой степенной кривой, идущей в ноль, y=x^a, функция F непрерывна, а на самом деле разрывна. Забавно, да.
Мне с этого примера всегда было не по себе в том смысле, что я плохо понимал, что же все-таки происходит в нуле: смотрите, мы имеем вдоль гигантского количества направлений ноль, но функция не непрерывна! Причем легко видеть, что пример может быть усложнен сколько угодно далеко, и мы покрываем все большее и больше количество кривых, но функция все равно разрывна. Можно подумать о следующем объекте, который состоит из множества всех гладких (кусочно-гладких) кривых, идущих в ноль. Для непрерывных функций предел вдоль любого направления одинаков, а вот для разрывных начинается интересное. Можно размышлять в терминах бесконечного blow-up, когда точка заменяется гигантским пространством кривых. Что из этого можно поиметь, остается крайне неясным, тем не менее меня эта конструкция почему-то завораживает.
Потом примеры с разрывными функциями двух переменных... Тут у меня мысля насчет того, что вот рассмотрим пространство X и его квадрат X^2, и будем смотреть функции, из покоординатной непрерывности которых следует непрерывность в совокупности, то есть из x--->F(x,y) и y-->F(x,y) непрерывны, следует (x,y)--->F(x,y) непрерывна.
Для X=R со стандартной топологией есть куча контрпримеров, и я о них скажу пару слов. Но вот вопрос: можно ли выбрать топологию на X, так чтобы свойство совокупной непрерывности следовало из покоординатной. Ясно, что в дискретной топологии все будет чики-пуки, но дискретные топологии - это моветон. Хочется чего-то благообразного.
Ну это все мечты, а насчет известных примеров в случае евклидовой плоскости:
F(x,y)= q(x)y/(q(x)^2+y^2), где Lim q(x)= 0 когда х--->0
Теперь на кривой y=q(x), F(x,q(x))=1/2. А вот если p(х) стремится к нулю медленнее, чем q(х), а именно:
Lim q(x)/p(x) = Lim r(x)--->0, то тогда мы имеем вдоль кривой y=p(х)
F(x,p)= pq/(p^2+q^2)=r/(1+r^2) ---->0 при х --->0!
Теперь выберем нашу любимую функцию q(x)=exp(-1/x^2), доопределим F(0,0)=0 и имеем интереснейшую картину: вдоль любой степенной кривой, идущей в ноль, y=x^a, функция F непрерывна, а на самом деле разрывна. Забавно, да.
Мне с этого примера всегда было не по себе в том смысле, что я плохо понимал, что же все-таки происходит в нуле: смотрите, мы имеем вдоль гигантского количества направлений ноль, но функция не непрерывна! Причем легко видеть, что пример может быть усложнен сколько угодно далеко, и мы покрываем все большее и больше количество кривых, но функция все равно разрывна. Можно подумать о следующем объекте, который состоит из множества всех гладких (кусочно-гладких) кривых, идущих в ноль. Для непрерывных функций предел вдоль любого направления одинаков, а вот для разрывных начинается интересное. Можно размышлять в терминах бесконечного blow-up, когда точка заменяется гигантским пространством кривых. Что из этого можно поиметь, остается крайне неясным, тем не менее меня эта конструкция почему-то завораживает.
