![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
Вот есть такое мнение, что паталогические функции, функции со всякими странными свойствами нерелевантны, бесполезны в серьезных задачах. Типа, нигде не дифференцируемые функции; нигде не монотонные всюду дифференцируемые; непрерывные, принимающие всякое свое значение несчетное число раз, и т.д и т.п. Так вот, считается, что совсем уж плохие функции хороши лишь, чтобы пугать первокурсников в российских университетах.
Тем не менее я знаю один очень естественный способ появления функций со странным свойствами: а именно, те функции, которые появляются как максимумы и минимумы при решение экстремальных задач в более высоких размерностях.
А именно, фунцкии вида
f(x)=sup{F(x,y): y из множества Y}.
При этом функция F(x,y) может быть даже сколь угодна гладка и хороша, тем не менее, после взятия максимума по одной переменной функция f(x) не обязана быть даже непрерывной.
Забавно, что я не знаю источников, где эта проблема исследовалась бы более-менее с регулярной точки зрения. Например, при каких условиях на F(x,y) и множество Y, функция f(x) все же будет непрерывной?
В геометрии такие функии играют важную роль. Например, рассмотрим такую поверхность (подмногообразие) в евклидовом пространстве, со свойством, что все сечения этой поверхности гиперплоскостями ортогональными некой оси, компактны. Тогда можно ввести функцию обхвата поверхности r(t)={максиимум расстояния от сечения до оси}. Оказывается, что геометрия исходной поверхности очень неплохо контролируется геометрией поверхности вращения, построенной по r(t). Проблема, однако, доказать, скажем, что r(t) принадлежит пространству Соболева второго порядка, то есть, чтобы вторая производная r''(t) существовала и являлась мерой. Для минимальных гиперповерхностей это верно и доказывается, что функция r(t) удовлетворяет некоторому дифференциальному неравенству, из которого следует конечности проекции на ось минимальной трубчатой гиперповерхности в размерности выше двух.
А вы знаете какие-нибудь еще естественные появления разрывных и/или патологических функций?
Update:
Совсем забыл упомянуть, что "супремум-функции" появляются также в теории дуальных выпуклых функций и в так называемых viscosity solutions нелинейных PDE.
Тем не менее я знаю один очень естественный способ появления функций со странным свойствами: а именно, те функции, которые появляются как максимумы и минимумы при решение экстремальных задач в более высоких размерностях.
А именно, фунцкии вида
f(x)=sup{F(x,y): y из множества Y}.
При этом функция F(x,y) может быть даже сколь угодна гладка и хороша, тем не менее, после взятия максимума по одной переменной функция f(x) не обязана быть даже непрерывной.
Забавно, что я не знаю источников, где эта проблема исследовалась бы более-менее с регулярной точки зрения. Например, при каких условиях на F(x,y) и множество Y, функция f(x) все же будет непрерывной?
В геометрии такие функии играют важную роль. Например, рассмотрим такую поверхность (подмногообразие) в евклидовом пространстве, со свойством, что все сечения этой поверхности гиперплоскостями ортогональными некой оси, компактны. Тогда можно ввести функцию обхвата поверхности r(t)={максиимум расстояния от сечения до оси}. Оказывается, что геометрия исходной поверхности очень неплохо контролируется геометрией поверхности вращения, построенной по r(t). Проблема, однако, доказать, скажем, что r(t) принадлежит пространству Соболева второго порядка, то есть, чтобы вторая производная r''(t) существовала и являлась мерой. Для минимальных гиперповерхностей это верно и доказывается, что функция r(t) удовлетворяет некоторому дифференциальному неравенству, из которого следует конечности проекции на ось минимальной трубчатой гиперповерхности в размерности выше двух.
А вы знаете какие-нибудь еще естественные появления разрывных и/или патологических функций?
Update:
Совсем забыл упомянуть, что "супремум-функции" появляются также в теории дуальных выпуклых функций и в так называемых viscosity solutions нелинейных PDE.
